Jumat, 23 November 2012

trigonometri

18.33    No comments
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Daftar isi

 [sembunyikan] 

[sunting] Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

[sunting] Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

[sunting] Hubungan fungsi trigonometri

TrigonometryTriangle.svg
Fungsi dasar:
\sin A = \frac{a}{c}\,
\cos A = \frac{b}{c}\,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\ = \frac{a}{b}\,
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\ = \frac{b}{a}\,
\sec A = \frac{1}{\cos A}\ = \frac{c}{b}\,
\csc A = \frac{1}{\sin A}\ = \frac{c}{a}\,

[sunting] Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,

[sunting] Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),
2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),
2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),
2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),

[sunting] Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

[sunting] Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

[sunting] Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,










Sinus


Right triangle
Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah
\sin A = {\mbox{a} \over \mbox{c}} \qquad \sin B = {\mbox{b} \over \mbox{c}}
Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Hubungan sinus dengan kosekan:
\csc A = \frac{1}{\sin A}\,

Nilai sinus sudut istimewa

\sin 0^o = 0\,
\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,
\sin 30^o = \frac{1}{2}\,
\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,
\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,
\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,
\sin 90^o = 1\,

Hukum sinus


Triangle.Labels.svg
Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
{\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.
Dapat ditunjukkan bahwa:
d = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}
di mana
s merupakan semi-perimeter
s = \frac{(a+b+c)} {2}

Turunan

Law of sines proof.png
Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.
Dapat diamati bahwa:
\sin A = \frac{h}{b} and \; \sin B = \frac{h}{a}
Kemudian:
h = b\,\sin A = a\,\sin B
dan
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.
Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

Kosinus


Right triangle
Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah
\cos A = {\mbox{b} \over \mbox{c}} \qquad \cos B = {\mbox{a} \over \mbox{c}}
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Nilai cosinus sudut istimewa

\cos 0^o = 1\,
\cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,
\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}\,
\cos 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,
\cos 60^o = \frac {1}{2}\,
\cos 75^o = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,
\cos 90^o = 0\,
\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Hukum cosinus

i
Sebuah segitiga sembarang
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,
dengan \gamma\, adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut \gamma\,.
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:
\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}
\cos \beta\ = {a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac}
\cos \gamma\ = {a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab}

Hukum Kosinus Pertama

a = b \cos \gamma + c \cos \beta\,
b = c \cos \alpha + a \cos \gamma\,
c = a \cos \beta + b \cos \alpha\,

Hukum Kosinus Kedua

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \, 
Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di kanan), berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah
\tan A = {\mbox{a} \over \mbox{b}} \qquad \tan B = {\mbox{b} \over \mbox{a}}
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

\tan A = \frac{Sin A}{Cos A}\,

Nilai Tangen Sudut Istimewa

  • \tan 0^o = 0\,
  • \tan 15^o = 2 - \sqrt {3},
  • \tan 30^o = \frac{\sqrt {3}}{3}\,
  • \tan 45^o = 1\,
  • \tan 60^o = \sqrt{3}\,
  • \tan 75^o = 2 + \sqrt {3},
  • \tan 90^o = \infty\,
 

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)